Question

現(xiàn)代人普遍認(rèn)為拓展訓(xùn)練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓(xùn)練．某大學(xué)生拓展訓(xùn)練中心著眼于大學(xué)生的實(shí)際情況，精心地設(shè)計(jì)了三個(gè)相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)極限項(xiàng)目，并設(shè)置如下計(jì)分辦法：

項(xiàng)目	甲	乙	丙
挑戰(zhàn)成功得分	10	30	60
挑戰(zhàn)失敗得分	0	0	0

據(jù)調(diào)查，大學(xué)生挑戰(zhàn)甲項(xiàng)目的成功概率為

4

5

，挑戰(zhàn)乙項(xiàng)目的成功概率為

3

4

，挑戰(zhàn)丙項(xiàng)目的成功概率為

1

2

．
（Ⅰ）求某同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目全部挑戰(zhàn)成功的概率；
（Ⅱ）記該同學(xué)挑戰(zhàn)三個(gè)項(xiàng)目后所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列并求EX．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出甲乙丙這三個(gè)項(xiàng)目全部挑戰(zhàn)成功的概率．
（Ⅱ）由題意，X的可能取值為0，10，30，40，60，70，90，100，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）甲乙丙這三個(gè)項(xiàng)目全部挑戰(zhàn)成功的概率
P=1-(1-

4

5

)(1-

3

4

)(1-

1

2

)=1-

1

40

=

39

40

；…（4分）
（Ⅱ）由題意，X的可能取值為0，10，30，40，60，70，90，100．…（6分）
P(X=0)=

1

5

•

1

4

•

1

2

=

1

40

，
P(X=10)=

4

5

•

1

4

•

1

2

=

1

10

，
P(X=30)=

1

5

•

3

4

•

1

2

=

3

40

，
P(X=40)=

4

5

•

3

4

•

1

2

=

3

10

，
P(X=60)=

1

5

•

1

4

•

1

2

=

1

40

，
P(X=70)=

4

5

•

1

4

•

1

2

=

1

10

，
P(X=90)=

1

5

•

3

4

•

1

2

=

3

40

，
P(X=100)=

4

5

•

3

4

•

1

2

=

3

10

．…（8分）
∴X的分布列為

X	0	10	30	40	60	70	90	100
P	1 40	1 10	3 40	3 10	1 40	1 10	3 40	3 10

…（10分）
E（X）=0×

1

40

+10×

1

10

+30×

3

40

+40×

3

10

+60×

1

40

+70×

1

10

+90×

3

40

+100×

3

10

=60.5（分）
∴該同學(xué)所得分的數(shù)學(xué)期望為60.5分．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．