Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（a＜b＜c），函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（m，-a）．
（1）若y=f（x）在x=x₀處取得極值，求證：-1＜x₀≤0；
（2）若f′（m）＞0，試判斷f（m-2）的符號，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：創(chuàng)新題型

分析：由y=f（x）在x=x₀處取得極值知，x=x₀是f（x）=ax²+2bx+c的對稱軸，問題可解．

解答： 證明：（1）由題意，
f（1）=a+2b+c=0，f（m）=am²+2bm+c=-a，
又∵a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，
∴1＞

b

a

＞

c

a

，
∴-

b

a

＞-1，
f（x）=ax²+2bx+c=a（x+

b

a

）²+c-

b2

a

，
則c-

b2

a

≥-a，
即-a-2b-

b2

a

≥-a，

b

a

(

b

a

+2)≥0，
∴

b

a

≥0或

b

a

≤-2(舍去)，
則-

b

a

≤0，
∴-1＜-

b

a

≤0，
又∵y=f（x）在x=x₀處取得極值，
∴x0=-

b

a

，
∴-1＜x₀≤0．
（2）f（m-2）＜0，證明如下：
∵f′（m）＞0，
∴m＜x₀，
∴m-x₀＜0，
∴m-2-x₀＜-2，
∴

.

m-2-x0

.

＞2，
又∵

.

1-x0

.

＜2，
即m-2到x=x₀的距離大于1到x=x₀的距離．且f（1）=0
∴f（m-2）＜0

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，比較困難，需要對二次函數(shù)深入掌握．