Question

16．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=4，S₅=30．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是什么數(shù)列？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的公差，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}的通項(xiàng)公式，然后判斷數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=4，S₅=30．可得5a₃=30，解得a₃=6，
數(shù)列的公差為：d=2．
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=a₃+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n．
（Ⅱ）S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+n，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2n}$=$\frac{n+1}{2}$
可得$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
所以數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列的判斷，考查計(jì)算能力．