Question

7．已知正實數(shù)a，b，c滿足a+b²+c³=1．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若|x-d|+|x+16|≥m恒成立，求實數(shù)d的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正實數(shù)a，b，c滿足a+b²+c³=1，運用三元均值不等式，可得ab²c³≤$\frac{1}{27}$，再由均值不等式即可得$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m．
（Ⅱ）利用絕對值不等式的幾何意義可求得|x-d|+|x+16|≥|x-d-x-16|=|d+16|，由題意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，從而可求得實數(shù)d的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為正實數(shù)a，b，c滿足a+b²+c³=1，
所以a+b²+c³=1≥$3\root{3}{a^{2}{c}^{3}}$，即ab²c³≤$\frac{1}{27}$，當且僅當a=b²=c³時取等號，
所以$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$≥$3\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}^{4}{c}^{6}}}$≥27，
所以$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m=27；
（Ⅱ）因為|x-d|+|x+16|≥|x-d-x-16|=|d+16|，
由題意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，得d≥11或d≤-43．

點評 本題考查不等式的證明，考查絕對值不等式的解法，掌握絕對值不等式的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，注意運用三元均值不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．