分析 設λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$,則$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CP}$,而點C在直線AB上,則問題即是求動點P到直線AB上的點C距離的最值問題,則CP⊥AB時,距離最小,由CP過圓心O時,取得最大值,再由垂徑定理和勾股定理,即可得到AB的長.
解答 解:設λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$,則$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CP}$,
又C點在直線AB上,
要求f(λ)=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|的最小值,
即求|$\overrightarrow{CP}$|的最小值,顯然當CP⊥AB時,CP最小,
可得f(λ)的最小值m為點P到AB的距離
又m的最大值為$\frac{3}{2}$,可得CP過圓心O時m取得最大值,
即有|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{{1}^{2}-(\frac{3}{2}-1)^{2}}$=$\sqrt{3}$.
故答案為:$\sqrt{3}$.
點評 本題考查向量共線定理的運用,以及圓的垂徑定理和勾股定理的運用,同時考查最值的求法,注意運用幾何方法和數(shù)形結合的思想方法,屬于中檔題.
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A. | (1,$\sqrt{2}$] | B. | [-$\sqrt{2}$,-1)∪[${\sqrt{2}$,+∞) | C. | (-∞,-$\sqrt{2}}$]∪(1,$\sqrt{2}}$] | D. | (0,$\frac{2}{3}}$)∪[${\sqrt{2}$,+∞) |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $-\sqrt{3}$ |
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