關(guān)于x的方程:(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個(gè)命題,其中真命題的個(gè)數(shù)有
(1)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
(2)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
(3)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
(4)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4
D
分析:將方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問題,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象可得結(jié)論.
解答:關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0可化為(x2-1)2-(x2-1)+k=0(x≥1或x≤-1)(1)
或(x2-1)2+(x2-1)+k=0(-1<x<1)(2)
當(dāng)k=-2時(shí),方程(1)的解為±,方程(2)無解,原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=時(shí),方程(1)有兩個(gè)不同的實(shí)根±,方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根±,
即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=0時(shí),方程(1)的解為-1,+1,±,方程(2)的解為x=0,原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
當(dāng)k=時(shí),方程(1)的解為±,±,方程(2)的解為±,±,
即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根
∴四個(gè)命題都是真命題
故選D.
點(diǎn)評:本題主要考查了分段函數(shù),以及函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,同時(shí)考查了分析問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浙江二模)已知函數(shù)f(x)=
x+
1
x
,x>0
x3+9,x≤0
,若關(guān)于x的方程f(x2+2x)=a(a∈R)有六個(gè)不同的實(shí)根,則a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,關(guān)于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,則A為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•上饒一模)關(guān)于x的方程:(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個(gè)命題,其中真命題的個(gè)數(shù)有( 。
(1)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根
(2)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根
(3)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根
(4)存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點(diǎn)P(1,f(1)).
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k∈R時(shí),討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
1
2
x2+a
(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x),y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1
(Ⅰ)求直線l的方程及a的值;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g'(x),求y=h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)k≥
1
2
時(shí),討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

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