Question

10．已知曲線f（x）=x³-2x²+1
（1）求在點(diǎn)P（1，0）處的切線l₁的方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)Q（2，1）且與已知曲線f（x）相切的直線l₂的方程．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求得f′（1），直接代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程，代入Q的坐標(biāo)求得切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線l₂的方程可求．

解答 解：由f（x）=x³-2x²+1，得f′（x）=3x²-4x．
（1）f′（1）=3×1²-4×1=-1，
則在點(diǎn)P（1，0）處的切線l₁的方程為y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)為M（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}+1$），$k=f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}$，
切線l₂ 的方程為$y-（{{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}+1）$=$（3{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，代入（2，1），
解得x₀=0或x₀=2，求得k=0，或k=4，
則l₂方程為4x-y-7=0或y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是注意“在某點(diǎn)處”與“過某點(diǎn)”的區(qū)別，是中檔題．