Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*
（Ⅰ）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n＜n-

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？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁=-14，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由an-1=-15•(

5

6

)n-1，得an=1-15•(

5

6

)n-1，從而Sn=75•(

5

6

)n-1+n-90，由此能求出存在最小的n=4．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-14，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，
所以an-1=

5

6

(an-1-1)，…．（4分）
又a₁-1=-15≠0，
所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：an-1=-15•(

5

6

)n-1，
得an=1-15•(

5

6

)n-1，
所以Sn=n-15×[(

5

6

)0+

5

6

+(

5

6

)2+…+(

5

6

)n-1]
=n-15×

1-( 5 6 )n

1- 5 6

，
從而Sn=75•(

5

6

)n-1+n-90（n∈N^*），…．（8分）
由S_n＜n-

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  ，
得(

5

6

)n-1＜

25

36

，又n＞3，故存在最小的n=4…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．