Question

3．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a≠0）在$x=\frac{π}{4}$處取得最小值，則函數(shù)$f（\frac{3π}{4}-x）$是（　　）

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關于點$（\frac{3π}{2}，0）$對稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱
• D． 奇函數(shù)且它的圖象關于點$（\frac{3π}{2}，0）$對稱

Answer 1

分析 由題意可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即有b=a，故f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）．求得f（$\frac{3π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asinx，再利用正弦函數(shù)的性質得出結論．

解答 解：函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）（a≠0）的周期為2π，
在$x=\frac{π}{4}$處取得最小值，
故有-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，即有b=a，∴f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）．
則f（$\frac{3π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（π-x）=$\sqrt{2}$asinx．
則函數(shù)y=f（$\frac{3π}{4}$-x）為奇函數(shù)，對稱中心為（kπ，0），k∈Z，
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查三角函數(shù)的最值和奇偶性和對稱性，考查兩角和的正弦公式，屬于中檔題．