Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15．其中m∈N^*且m≥2，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和的最大值為（　�。�

• A． $\frac{24}{143}$
• B． $\frac{1}{143}$
• C． $\frac{24}{13}$
• D． $\frac{6}{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)求出首項(xiàng)和公差，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，再根據(jù)裂項(xiàng)求和即可得到答案．

解答 解：∵S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15，
∴a_m=S_m-S_m-1=0-13=-13，a_m+1=S_m+1-S_m=-15-0=-15，
又∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴公差d=a_m+1-a_m=-15-（-13）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（m{-1）a}_{1}+\frac{（m-1）（m-2）}{2}×（-2）=13}\\{m{a}_{1}+\frac{m（m-1）}{2}×（-2）=0}\end{array}\right.$，
解得a₁=13
∴a_n=a₁+（n-1）d=13-2（n-1）=15-2n，
當(dāng)a_n≥0時，即n≤7.5，
當(dāng)a_n+1≤0時，即n≥6.5，
∴數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（15-2n）（13-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{13-2n}$-$\frac{1}{15-2n}$）
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和的最大值為$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{13}$）=$\frac{6}{13}$．
故選：D

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，以及數(shù)列的函數(shù)的特征和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．