Question

如圖,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°，AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)N.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求橢圓C方程;
(2)若點(diǎn)E滿足,問(wèn)是否存在不平行AB的直線L與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且|PE|=|QE|,若存在,求出直線L與AB夾角的范圍;若不存在,說(shuō)明理由?

Answer 1

（1）
（2）存在           L與AB的夾角范圍為(0,

(1)先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為,根據(jù)AB=2,AN=,BM=，得A(-1,0), B(1,0), N(-1,),代入橢圓方程可求得；(2)設(shè)L:y="kx+m" (k≠0),與橢圓方程聯(lián)立，求得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)用k，m表示，由PQ⊥EFm=,由Δ>0可得4k²+3≥m²。
解:(1)以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,
A(-1,0), B(1,0), N(-1,),
設(shè)所求橢圓方程為, …………………2分
把N點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,可得:,,
解得,
故所求橢圓方程為:
(2)設(shè)E(x,y),M(1,)∵∴E(0,1)
顯然L:x=0不滿足
設(shè)L:y="kx+m" (k≠0),與橢圓方程
聯(lián)立可得:(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
由Δ>0可得4k²+3≥m², ……………………9分
設(shè)PQ的中點(diǎn)為F(x₀,y₀),P(x₁,y₁)
Q(x₂,y₂),則2x₀=,2y₀=
由PQ⊥EFm=,
∴≥,
∴0<k²≤1,∴k∈[-1,1]且k≠0∴L與AB的夾角范圍為(0,…13分