Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+2x-1

x

的定義域?yàn)椴坏仁絣og₂|x+3|+log 

1

2

x≤3的解集，且f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由不等式log₂|x+3|+log

1

2

x≤3 求得x≥

3

7

，可得函數(shù)f（x）=

ax2+2x-1

x

的定義域．由題意可得當(dāng)x₂＞x₁≥

3

7

時(shí)，f（x₂）-f（x₁）=（x₂-x₁）（a+

1

x1•x2

）＜0，可得a＜-

1

x1•x2

．再由 x₁•x₂≥

9

49

，求得a的范圍．

解答： 解：由不等式log₂|x+3|+log

1

2

x≤3，可得x＞0，且log₂ 

x+3

x

≤log₂8，∴

x＞0 x+3 x ≤8

，求得x≥

3

7

，
故函數(shù)f（x）=

ax2+2x-1

x

的定義域?yàn)閇

3

7

，+∞）．
由f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得當(dāng)x₂＞x₁≥

3

7

時(shí)，f（x₂）＜f（x₁），
即f（x₂）-f（x₁）=（ax₂+2-

1

x2

）-（ax₁+2-

1

x1

）=a（x₂-x₁）+（

1

x1

-

1

x2

）=a（x₂-x₁）+

x2-x1

x1•x2

=（x₂-x₁）（a+

1

x1•x2

）＜0，
∴a+

1

x1•x2

＜0，即a＜-

1

x1•x2

．
再由 x₁•x₂≥

9

49

，可得a≤-

49

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．