Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

x²．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+2bx=0在區(qū)間（0，e]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值；
（3）若對(duì)任意x∈[

1

e

，1]，不等式|a-2lnx|+ln[f′（x）+x]＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即而求出極值；
（2）把f（x）+2bx=0變?yōu)?b=-

lnx

x

+

1

2

x，并構(gòu)造函數(shù)g（x）和h（x），利用函數(shù)的單調(diào)性得到g（x₀）＜2b≤g（e），解得即可；
（3）由已知的不等式解出a的取值范圍并得到a的取值使不等式成立即可；

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-x=

1-x2

x

=0，解得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為f（1）=-

1

2

，無極小值．
（2）lnx-

1

2

x²+2bx=0，x∈（0，e]，
∴2bx=-lnx+

1

2

x²，
即2b=-

lnx

x

+

1

2

x，
令g（x）=-

lnx

x

+

1

2

x，
則g′（x）=-

1-lnx

x2

+

1

2

=

x2-2+2lnx

2x2

設(shè)h（x）=x²-2+2lnx，
則h′（x）=2x+

2

x

＞0，
所以h（x）在（0，e]上為增函數(shù)，
因?yàn)閔（1）=-1＜0，h（e）=e²＞0，所以存在唯一的x₀∈（0，e]，使得h（x₀）=0
所以存在唯一x₀∈（0，e]，使得g（x₀）=0，
當(dāng)x∈（0，x₀），g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（x₀，e]，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
若關(guān)于x的方程f（x）+2bx=0在區(qū)間（0，e]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則滿足g（x₀）＜2b≤g（e）=-

1

e

+

e

2

（3）|a-2lnx|+ln[f′（x）+x]＞0，
即|a-2lnx|＞lnx，
因?yàn)閤∈[

1

e

，1]，所以lnx≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，lnx=0，
所以只要當(dāng)x=1時(shí)，a-2lnx≠0，即滿足不等式成立，
所以a≠0．
故a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，綜合運(yùn)用方程與函數(shù)的能力，以及求導(dǎo)數(shù)的能力，屬于中檔題．