Question

在盒子里有大小相同，僅顏色不同的乒乓球共10個(gè)，其中紅球5個(gè)，白球3個(gè)，藍(lán)球2個(gè)．現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后放回盒子里，再取下一個(gè)球．重復(fù)以上操作，最多取3次，過(guò)程中如果取出藍(lán)色球則不再取球．求：
（1）最多取兩次就結(jié)束的概率；
（2）整個(gè)過(guò)程中恰好取到2個(gè)白球的概率；
（3）取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）先分別求出任取一球，取到每種顏色的球的概率，因?yàn)槿〕鏊{(lán)色球則不再取球，所以最多取兩次就結(jié)束有兩種情況，第一種，第一次取球，取到藍(lán)球，第二種情況，第一次取球，取到紅球或白球，第二次取球，取到藍(lán)球，把兩種情況的概率求出，再相加即可．
（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率為

3

10

，取到藍(lán)球的概率為

1

5

，取到紅球的概率為

1

2

，而恰好取到2個(gè)白球 包括三個(gè)互斥事件，即（白，白，非白），（白，紅，白），（紅，白，白），分別計(jì)算它們的概率，最后相加即可
（3）設(shè)取球次數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3，X=1即第一次就抓到藍(lán)球，X=2即第一次不是藍(lán)球，第二次是藍(lán)球，X=3即第一次不是藍(lán)球，第二次不是藍(lán)球；分別計(jì)算它們的概率，列出分布列，由期望公式計(jì)算X的期望

解答：解：（1）由題意知，任取一球，取到紅球的概率為

5

5+3+2

=

1

2

任取一球，取到白球的概率為

3

5+3+2

=

3

10

任取一球，取到藍(lán)球的概率為

2

5+3+2

=

1

5

∵如果取出藍(lán)色球則不再取球，∴最多取兩次就結(jié)束的概率為

1

5

+

1

2

×

1

5

+

3

10

×

1

5

=

9

25

（2）設(shè)A={整個(gè)過(guò)程中恰好取到2個(gè)白球}，B_i={第i次取到白球} H_i={第i次取到紅球} L_i={第i次取到藍(lán)球}
則P（A）=P（B₁B₂

.

B3

）+P（H₁B₂B₂）+P（B₁H₂B₃）
=

3

10

×

3

10

×

7

10

+

1

2

×

3

10

×

3

10

+

3

10

×

1

2

×

3

10

=

153

1000

（3）設(shè)取球次數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3
P（X=1）=

2

5+3+2

=

1

5

P（X=2）=

1

2

×

1

5

+

3

10

×

1

5

=

4

25

P（X=3）=

4

5

×

4

5

=

16

25

隨機(jī)變量X的分布列如下

X	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

從而E（X）=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

點(diǎn)評(píng)：本題考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法