Question

從1，2，3，…，20這20個自然數(shù)中，每次任取3個數(shù)，若其和是大于10的偶數(shù)，則這樣的數(shù)組有

563

個．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設A={1，3，5，…，17，19}，B={2，4，6，…，18，20}，分①從集合B中取出3個，②從集合A中取2個，集合B中取1個，2種情況討論，計算可得取出3個數(shù)之和為偶數(shù)的情況，進而由列舉法可得取出3個數(shù)之和小于等于10的情況，由間接法計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，將1，2，3，…，20這20個自然數(shù)分為2組，一組為奇數(shù)，一組為偶數(shù)；
設A={1，3，5，…，17，19}，B={2，4，6，…，18，20}，
若取出的三個數(shù)之和為偶數(shù)，則必是3個偶數(shù)或2奇1偶，
有2種情況，①從集合B中取出3個，有C₁₀³種情況，
②從集合A中取2個，集合B中取1個，有C₁₀¹×C₁₀²種情況，
共有C₁₀³+C₁₀¹×C₁₀²=570種情況，
其中之和小于等于10的情況有：（1、3、2），（1、3、4），（1、3、6），（1、5、2），（1、5、4），（1、7、2），
（3、5、2），共7種；
故其和是大于10的偶數(shù)的情況有570-7=563種，即有563個這樣的數(shù)組；
故答案為563．

點評：本題考查排列、組合的應用，解題的關鍵是根據(jù)整數(shù)加法的性質(zhì)，將20個自然數(shù)分為2組，進而分類討論，求出取出3數(shù)之和為偶數(shù)的情況數(shù)目．