Question

12．如圖，A，B，C為圓O上三點，點B平分弧$\widehat{AC}$，點P為AC延長線上一點，PQ是圓O的切線，切點為Q，BQ與AC相交于點D．
（1）求證：PD=PQ；
（2）若PC=1，AD=PD，求BD•QD．

Answer 1

分析 （1）連接CQ，BC，AB，證明∠PQD=∠CDQ，即可證明PD=PQ；
（2）利用切割線定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BD•QD．

解答 證明：（1）連接CQ，BC，AB，
因為PQ是圓O的切線，所以∠PQC=∠CBD，
因為點B平分弧$\widehat{AC}$，所以∠CQB=∠ACB，…（3分）
所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB，
即∠PQD=∠CDQ，故PD=PQ…（5分）
（2）設(shè)CD=t，則PD=PQ=1+t，PA=2+2t，…（7分）
由PQ²=PC•PA得t=1，所以CD=1，AD=PD=2，
所以BD•QD=CD•AD=2…（10分）

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查相等線段的證明，考查切割線定理，難度中等．