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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線數學公式的焦點,離心率為數學公式
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點,交y軸于M點,若數學公式數學公式,求證:λ12=-10.

解:(1)解:設橢圓C的方程為(a>b>0),
拋物線方程化為x2=4y,其焦點為(0,1)
則橢圓C的一個頂點為(0,1),即b=1
,∴a2=5,
所以橢圓C的標準方程為
(2)證明:易求出橢圓C的右焦點F(2,0),
設A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,
設直線l的方程為y=k(x-2),代入方程并整理,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0

又,,
,而,
即(x1-0,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1),(x2-0,y2-y0)=λ2(2-x2,-y2
,,
所以
分析:(1)設出橢圓的方程,把拋物線方程整理成標準方程,求得焦點的坐標,進而求得橢圓的一個頂點,即b,利用離心率求得a和c關系進而求得a,則橢圓的方程可得.
(2)先根據橢圓的方程求得右焦點,設出A,B,M的坐標設出直線l的方程代入橢圓方程整理后利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2,進而根據,,利用題設條件求得λ1和λ2的表達式,進而求得λ12
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生綜合分析問題的能力,知識的遷移能力以及運算能力.
練習冊系列答案
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  1. A.
    {x|-1≤x<3}
  2. B.
    {x|-1≤x<0}
  3. C.
    {x|0<x<3}
  4. D.
    {x|-3<x≤-1}

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  1. A.
    2
  2. B.
    4
  3. C.
    6
  4. D.
    8

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  1. A.
    (0,數學公式
  2. B.
    (-數學公式,數學公式
  3. C.
    (0,π)
  4. D.
    (-數學公式,π)

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