Question

8．已知△ABC中，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，點G是△ABC的重心，$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BC}$=-2．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，設∠BAC=θ，用θ表示出$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{BC}$的坐標，代入數(shù)量積公式計算．

解答 解：以AB所在直線為x軸以A為原點建立平面直角坐標系，設∠BAC=θ，
則B（3，0），C（$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），取BC中點D，連結AD，則D（$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$），
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}cosθ-3$，$\sqrt{3}sinθ$）．
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{BC}$=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$）（$\sqrt{3}cosθ-3$）+sin²θ=$\sqrt{3}cosθ-3$+cos²θ-$\sqrt{3}$cosθ+sin²θ=-2．
故答案為-2．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立平面直角坐標系是解題關鍵，屬于中檔題．