Question

已知函數(shù)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x），且當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），由題意分析可得F（x）在（-∞，0]的單調(diào)性、奇偶性，從而可得F（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，又由題意|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對(duì)于一切θ∈[-，]恒成立，則有|a+1|≥|sinθ|對(duì)于一切θ∈[-，]恒成立，又由y=sinx的性質(zhì)分析可得|sinθ|的最大值為1，進(jìn)而可得|a+1|≥1恒成立，解可得答案．
解答：解：令F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf'（x），
當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，即F′（x）＜0，
則F（x）在（-∞，0]為減函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）為R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），
則F（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=F（x），故F（x）在R上為偶函數(shù)；
又由F（x）在（-∞，0]為減函數(shù)，則F（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）對(duì)于一切θ∈[-，]恒成立，
則有|a+1|≥|sinθ|對(duì)于一切θ∈[-，]恒成立，
而當(dāng)θ∈[-，]時(shí)，|sinθ|≤1，
則必有|a+1|≥1成立，
解可得，a≤-2或a≥0，即a的取值范圍是（-∞，-2]∪[0，+∞）；
故答案為（-∞，-2]∪[0，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)函數(shù)恒成立問題，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)[xf（x）]′=f（x）+xf'（x），進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），分析F（x）的單調(diào)性與奇偶性，從而解題．