Question

已知函數(shù)（是不為零的實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線與有公共點(diǎn)，且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時(shí)k的取值范圍.

Answer 1

（1）．
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

試題分析：（1）設(shè)曲線與有共同切線的公共點(diǎn)為，
則．     1分
又曲線與在點(diǎn)處有共同切線，
且，，  2分
∴，                      3分
解得 ．                           4分
（2）由得函數(shù)，
所以                     5分

．               6分
又由區(qū)間知，，解得，或．                     7分
①當(dāng)時(shí)，由，得，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，                      8分
要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
則有                           9分
解得．                  10分
②當(dāng)時(shí)，由，得，或，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，             11分
要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
則有，或，                   12分
這兩個(gè)不等式組均無(wú)解.                        13分
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.  14分
點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中的基本問題，（1）運(yùn)用“函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率，就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值”，確定直線的斜率。通過研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況，明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)的最值，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，計(jì)算極值、端點(diǎn)函數(shù)值，比較大小確定最值”。本題較難，主要是涉及參數(shù)K的分類討論，不易把握。