Question

6．已知f（x）=a^x+ta^-x（a＞0，且a≠1）是定義在R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）＞a^2x-3+a^-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），（1分）
∴a^-x+ta^x=a^x+ta^-x，（2分）
∴t（a^x-a^-x）=a^x-a^-x，（4分）
∴t=1． （5分）
（Ⅱ）∵t=1，
∴f（x）=a^x+a^-x（a＞0，且a≠1），
∵f（x）＞a^2x-3+a^-x．
∴a^x+a^-x＞a^2x-3+a^-x．
即a^x＞a^2x-3，（6分）
當(dāng)a＞1時(shí)，則x＞2x-3得x＜3  （9分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則x＜2x-3，得x＞3，（11分）
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，所求的解集為（-∞，3）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所求的解集為（3，+∞）   （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及指數(shù)不等式的求解，利用定義求出t，以及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．