已知M，N分別在△ABC的邊AB和AC上，且
AM
=2
MB
，
AN
=
NC
，設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
．
（1）若P為線段CM的中點(diǎn)，用
a
，
b
表示
AP
；
（2）設(shè)CM與BN交于點(diǎn)Q，求
|BQ|
|QN|
的值．
分析：（1）由M，N分別在△ABC的邊AB和AC上，P為線段CM的中點(diǎn)，且
AM
=2
MB
，
AN
=
NC
，我們易根據(jù)向量加法的三角形法則，用
a
，
b
表示
AP
；
（2）由
AB
=
a
，
AC
=
b
，我們易將向量
AP
，
AQ
，
AS
，用
a
，
b
表示，利用向量加減法的運(yùn)算法則，易得到
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)．
（2）由于B，Q，N三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量基本定理得：存在實數(shù)λ使得
BQ
=λ
BN
=-λ
a
+
1
2
λ
b
，同理C，Q，M三點(diǎn)共線，存在實數(shù)m，n使得
BQ
=m
BM
+n
BC
，且m+n=1，綜合即得結(jié)論．
解答：解：（1）
AP
=
AC
+
CP
=
AC
+
1
2
CM
，
又∵
CM
=
AM
-
AC
=
2
3
AB
-
AC
，∴
AP
=
1
3
AB
+
1
2
AC
…．（3分）
（2）∵
AN
=
NC
，∴
AN
=
1
2
b
，
BN
=
BA
+
AN
=-
a
+
1
2
b
．
∵B，Q，N三點(diǎn)共線，
∴存在實數(shù)λ使得
BQ
=λ
BN
=-λ
a
+
1
2
λ
b
，①
∵
AM
=2
MB
，∴
BM
=-
1
3
a
，又
BC
=
b
-
a

∵C，Q，M三點(diǎn)共線，
∴存在實數(shù)m，n使得
BQ
=m
BM
+n
BC
，且m+n=1，
即
BQ
=-
m
3
a
+n(
b
-
a
)=-(
m
3
+n)
a
+n
b
，②
綜合①②，得
-λ=-(
m
3
+n)
1
2
λ=n
，
又m+n=1，解得λ=
1
2
，∴
|BQ|
|QN|
=1…..（10分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，利用向量加減法的三角形法則，及數(shù)乘向量運(yùn)算法則，將平面內(nèi)任一向量分解為用基底向量表示的形式，是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在x，y軸上運(yùn)動，且|MN|=4，動點(diǎn)P滿足
MP
=
1
3
PN
．
（I）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（II）過點(diǎn)（0，2）的直線l與C交于不同兩點(diǎn)A，B．
①求直線l斜率k的取值范圍．②若OA⊥OB，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知線段MN的兩個端點(diǎn)M、N分別在x軸、y軸上滑動，且|MN|=4，點(diǎn)P在線段MN上，滿足
MP
=m
MN
（0＜m＜1），記點(diǎn)P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程，并討論W的形狀與m的值的關(guān)系；
（2）當(dāng)m=
1
4
時，設(shè)A、B是曲線W與x軸、y軸的正半軸的交點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與曲線W交于C、D兩點(diǎn)，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個銳角α，β，且α，β的終邊依次與單位圓O相交于M、N兩點(diǎn)，已知M、N的橫坐標(biāo)分別為
2
5
5
、
3
10
10

（I ）求α+β的值；
（II）在△ABC中，A，B為銳角，A=α，B=β，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若
m
=（a+1，1），
n
=（b+
2
，1），當(dāng)
m
∥
n
時，求a b、c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M，N分別在直線y=mx和y=-mx（m＞0）上運(yùn)動，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，且|MN|=2，動點(diǎn)P的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程，并討論方程所表示的曲線類型；
（2）設(shè)m=
2
2
時，過點(diǎn)A（-
2
6
3
，0）的直線l與曲線C恰有一個公共點(diǎn)，求直線l的斜率．

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