Question

在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的關(guān)系式，則

sinC

sinA

的值可得．
（Ⅱ）先通過(guò)余弦定理可求得a和c的關(guān)系式，同時(shí)利用（Ⅰ）中的結(jié)論和正弦定理求得a和c的另一關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a和c，利用三角形面積公式即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理設(shè)

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k
則

2c-a

b

=

2ksinC-ksinA

ksinB

=

2sinC-sinA

sinB

=

cosA-2cosC

cosB

整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）
又A+B+C=π
∴sinC=2sinA，即

sinC

sinA

=2
（Ⅱ）由余弦定理可知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

4

①
由（Ⅰ）可知

sinC

sinA

=

c

a

=2②
①②聯(lián)立求得c=2，a=1
sinB=

1- 1 16

=

15

4

∴S=

1

2

acsinB=

15

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形和三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生基本分析問題的能力和基本的運(yùn)算能力．