Question

如圖，在四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D₁在底面ABCD內的射影恰好為點C．
（1）求證：AD₁⊥BC；
（2）在AB上是否存在點M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接D₁C，連接AC，然后證明BC⊥平面AD₁C，即可證明AD₁⊥BC．
（Ⅱ）設M是AB上的點，證明四邊形AD₁C₁M為平行四邊形，說明點M為AB的中點．得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連接D₁C，則D₁C⊥平面ABCD，
∴D₁C⊥BC
在等腰梯形ABCD中，連接AC
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD₁C
∴AD₁⊥BC…（6分）
（Ⅱ）設M是AB上的點
∵AB∥CD，∴AM∥D₁C₁
因經(jīng)過AM、D₁C₁的平面與平面ADD₁A₁相交與AD₁，
要是C₁M∥平面ADD₁A₁，則C₁M∥AD₁，
即四邊形AD₁C₁M為平行四邊形，
此時D1C1=DC=AM=

1

2

AB，即點M為AB的中點．
所以在AB上存在點M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁，此時點M為AB的中點．…（12分）

點評：本題考查在與平面平行的判定定理以及性質定理的應用，存在性問題的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．