如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）證明：連結(jié)，與交于點，連結(jié)．因為，分別為和的中點，所以∥．又平面，平面，
所以∥平面．             ……………………4分
（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因為，為中點，所以．又，
所以平面．又平面，所以．
因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，
所以△≌△，． 所以．
所以．
又，所以平面．               ……………………8分

（Ⅲ）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．
則．
由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．
設(shè)為平面的一個法向量，
，．
由可得
令，則．
所以．
從而．
因為二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．………12分
略
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，.
（1）證明：;   
（2）設(shè)PD=AD=1，求點D到平面PBC的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，若是長方體被平面截去幾何體后
得到的幾何體，其中為線段上異于的點，為線段上異于的點，且
，則下列結(jié)論中不正確的是            （   ）
A．B．四邊形是矩形
C．是棱柱D．是棱臺

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題


（本小題滿分15分）
已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點。
（Ⅰ）證明：面面；
（Ⅱ）求與所成的角；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱的所有棱長都相等，且底面，為的中點，
（Ⅰ）求證：∥
（Ⅱ）求證：平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面，直線，，且，則與（　　）
A．B．與斜交C．D．位置關(guān)系不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

三條直線兩兩平行，則過其中任意兩條直線最多可確定________個平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在棱長均為4的三棱柱中，、分別是BC和的中點.
（1）求證：∥平面；
（2）若平面ABC⊥平面，，
求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，四棱柱的底面是邊長為的正方形，底面，，點在棱上，點是棱的中點
（1）當(dāng)平面時，求的長；
（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值。

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