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平面α∥平面β，A、CÎ α，B、DÎ β，M、N分別為AB和CD的中點，求證MN∥β．

答案：略
解析：

條件中沒有明確AB、CD是否共面，故應分兩種情況討論．當AB、CD不共面時，解決問題的方法是添加分別與AB、CD共面的第三條線(即空間四邊形ABDC的對角線)，將空間問題轉化為平面問題是解決立體幾何問題的重要策略．

證明：(1)若AB與CD共面，則由MN∥BD∥AC，知MN∥β．

(2)若AB與CD異面(如圖所示)，連AD，取AD中點F，連NF、MF．在△ABD中，MF是中位線，

∴MF∥BD，∴MF∥β，同理FN∥β．

∴面MNF∥β．又MN面MNF，∴MN∥β．

由(1)、(2)知，MN∥β．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知四個命題：
①兩條直線確定一個平面；
②點A在平面α內，也在直線a上，則直線a在平面α內；
③如果平面α與平面β有不同的三個公共點，那么這兩個平面必重合；
④三條直線兩兩平行，最多可確定三個平面．
其中正確的命題有（　　）個．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面α⊥平面β,在平面α內的一條直線a垂直于平面β內的一條直線b,則…(    )

A.直線a必垂直于平面β                     B.直線b必垂直于平面α

C.直線a不一定垂直于平面β               D.過a的平面與過b的平面垂直

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面α ∩平面β=l,點A∈α,點B∈α,且點C∈β,點Cl.又AB∩l=R,如圖所示,設A、B、C三點確定的平面為γ,則β∩γ是（    ）

A.直線AC                          B.直線BC

C.直線CR                          D.以上均錯

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面α∩平面β=l,點A∈α,點B∈α,點C∈β,且Cl,又AB∩l=R(如圖),過A、B、C三點確定的平面為平面ABC,則平面β∩平面ABC是(    )

A.直線CR            B.直線AC              C.直線BC               D.直線l

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科目：高中數學 來源：2013年高考數學備考復習卷B5：點、直線、平面之間的位置關系（解析版） 題型：選擇題

平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（ ）
A．AB∥CD
B．AD∥CB
C．AB與CD相交
D．A，B，C，D四點共面

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