Question

7．已知函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{1}{2}$）-$\frac{x}{2}$+a，當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，恒有f（x）≤2a-$\frac{3}{4}$成立，則a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）_max≤2a-$\frac{3}{4}$成立．利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最大值，可得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{1}{2}$）-$\frac{x}{2}$+a，當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時恒有f（x）≤2a-$\frac{3}{4}$成立，
故f（x）_max≤2a-$\frac{3}{4}$成立．
當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]時，x-$\frac{1}{2}$∈[0，1]，y=cos（x-$\frac{1}{2}$）-$\frac{x}{2}$+a是減函數(shù)，
故當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）取得最大值為1-$\frac{1}{4}$+a=a+$\frac{3}{4}$，
∴2a-$\frac{3}{4}$≥a+$\frac{3}{4}$，即a≥$\frac{3}{2}$，
則a的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，+∞），
故答案為：[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．