Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域 為R，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），且f（2）=4
（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）證明f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）利用抽象函數(shù)的條件，取行列值代入，可得f（0），f（1）的值，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）利用抽象函數(shù)條件和函數(shù)單調(diào)性的定義，證明f（x）在R上是減函數(shù)，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，
令x=-1，y=0，
則f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1∴f（1）=f（0）f（1）=1．
（Ⅱ）若x＞0，-x＜0，
∴f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x），
∴f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1），
故x∈R，f（x）＞0
任取x₁＜x₂，f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
故f（x）在R上減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性定義和抽象函數(shù)的研究，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．