Question

如圖是一個(gè)正三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=1，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）面ABC⊥面AA₁B₁B．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．證明OC∥C₁D，通過直線與平面平行的判定定理證明OC∥面A₁B₁C₁．  
（2）由（1）OD∥AA₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明CO⊥面AA₁B₁B，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABC⊥面AA₁B₁B．

解答： 解：（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥BB₁∥CC₁，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
則ODC₁C是平行四邊形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁；
則OC∥面A₁B₁C₁．   （6分）
（2）由（1）OD∥AA₁，
又∵O是AB的中點(diǎn)，D是A₁B₁的中點(diǎn)．
∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴C₁D⊥A₁B₁，
又AA₁⊥C₁D，∴C₁D⊥面AA₁B₁B，又C₁D∥CO，
∴CO⊥面AA₁B₁B，
∵CO?面ABC，
∴面ABC⊥面AA₁B₁B（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力邏輯推理能力．