Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（2）解有關(guān)三角函數(shù)的不等式即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時(shí)，有最大值，f（x）_max=1，
（2）由（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z，
∴不等式的解集為{x|2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和性質(zhì)以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．