Question

15．若$\overrightarrow{a}$=（cosθ-2sinθ，2），$\overrightarrow$=（sinθ，1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求sin2θ-sinθcosθ的值；
（2）若f（θ）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$•\overrightarrow$，當(dāng)θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行列方程解出sinθ，cosθ，代入公式計算；
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積公式得出f（θ）的解析式，化簡，根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性得出最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，∴cosθ-2sinθ-2sinθ=0，即cosθ=4sinθ．
∴sin2θ-sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ-sinθcosθ}{sin^2θ+cos^2θ}$=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4si{n}^{2}θ}{16si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{17}$．
（2）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（cosθ-sinθ，3），
∴f（θ）=cosθsinθ-sin²θ+3=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}cos2θ$+$\frac{5}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）+$\frac{5}{2}$．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2θ$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]．
∴當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，f（θ）取得最小值2，當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，f（θ）取得最大值$\frac{\sqrt{2}+5}{2}$．
∴f（θ）的值域為[2，$\frac{\sqrt{2}+5}{2}$]．

點評 本題考查了向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．