求證：當(dāng)n∈N，n≥2時，

．

 

答案：
解析：

證明：1˚ 當(dāng)n =2時，左邊=，右邊=，不等式成立．

2˚ 假設(shè)當(dāng)n = k（k≥2）時不等式成立：

．

則 

∵

，

∴ ．

由此可得 ，說明當(dāng)n = k+1時不等式仍成立．

由1˚、2˚可知不等式對一切不小于2的自然數(shù)n都成立．

評述  此題采用數(shù)學(xué)歸納法證明是很自然的、有效的．但數(shù)學(xué)歸納法并不是惟一的證法．采用放縮變換也可證明此不等式．

∵ n∈N，n≥2，

∴

．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a＞0)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜ln n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

求證：當(dāng)n∈N，n≥2時，

．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a＞0)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜ln n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣西桂林十八中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=ln．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時，．

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