6.已知$\vec a=(2cosx,\sqrt{3}cosx)$,$\vec b=(cosx,2sinx)$,函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$(x∈R)
(1)求函數(shù)f(x)的周期;
(2)若方程f(x)-t=1在$x∈[0,\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)首先利用三角函數(shù)的恒等變換,變形成正弦型函數(shù)進(jìn)一步利用函數(shù)周期的定義.
(2)把求方程的解得問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的交點(diǎn)問題,進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍

解答 解:(1)$f(x)=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+1$=$2sin({2x+\frac{π}{6}})+1$,
∴周期T=π;
(2)依題意:由$2sin({2x+\frac{π}{6}})+1$=t+1,得$t=2sin({2x+\frac{π}{6}})$,
即函數(shù)y=t與$y=2sin({2x+\frac{π}{6}})$的圖象在$x∈[0,\frac{π}{2}]$有兩個交點(diǎn),
∵$x∈[0,\frac{π}{2}]$,∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{7π}{6}]$.
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{π}{2}]$時,$sin({2x+\frac{π}{6}})∈[\frac{1}{2},1]$,y∈[1,2]
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2},\frac{7π}{6}]$時,$sin({2x+\frac{π}{6}})∈[-\frac{1}{2},1]$,y∈[-1,2]
故由正弦圖象得:1≤t<2

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn):三角函數(shù)的恒等變換,正弦型函數(shù)的單調(diào)性,在同一坐標(biāo)系內(nèi)的利用兩函數(shù)的交點(diǎn)問題求參數(shù)的取值范圍問題.

練習(xí)冊系列答案
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A.208B.212C.216D.220

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17.已知函數(shù)$f(x)=2sin({ωx+φ})({ω>0,-\frac{π}{2}<φ<\frac{π}{2}})$的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論錯誤的是( 。
A.$φ=-\frac{π}{4}$
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C.函數(shù)f(x)的一條對稱軸是$x=\frac{3π}{4}$
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14.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,-2,3)與點(diǎn)B(-1,-2,-3)關(guān)于(  )對稱.
A.x軸B.y軸C.z軸D.原點(diǎn)

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1.已知f(x)=$\frac{lnx}{x}$,若f′(x0)=0,則x0=( 。
A.e2B.eC.1D.ln2

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11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且${a_1}=1,{S_n}=\frac{{({n+1}){a_n}}}{2}$,則a2017=(  )
A.2016B.2017C.4032D.4034

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18.下列說法正確的是( 。
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15.若a,b是兩個正數(shù),且a,b,-4這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則a+b的值等于10.

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