Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A為橢圓上一點，當(dāng)△AF₁F₂的面積最大時，△AF₁F₂為等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，若x軸上存在一定點M（1，0），使得

PM

•

QM

=0，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓性質(zhì)可知當(dāng)點A為橢圓短軸端點時△AF₁F₂的面試最大，得到a，c的關(guān)系，則答案可求；
（Ⅱ）由橢圓離心率設(shè)出橢圓方程3x²+4y²-12t=0，和直線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0得到m，k，t的關(guān)系，用m，k表示P的坐標(biāo)，結(jié)合x軸上存在一定點M（1，0），使得

PM

•

QM

=0求得t的值，則橢圓方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)點A為橢圓短軸端點時△AF₁F₂的面試最大．
此時a=2c，離心率e=

1

2

；
（Ⅱ）∵e=

c

a

=

1

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，

b2

a2

=

3

4

，
可設(shè)b²=3ta²=4t，
∴橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0．
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0．
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0．
整理得m²=3t+4k²t．
設(shè)P（x₁，y₁），則有x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，y1=kx1+m=

3m

3+4k2

，
∴P（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）．
又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，
∴(1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

)•(-3，-(4k+m))=0恒成立．
整理得3+4k²=m²，
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．