如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),且DEBC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(1)求證:BC平面A1DE;
(2)求證:BC⊥平面A1DC;
(3)當(dāng)D點(diǎn)在何處時,A1B的長度最小,并求出最小值.
(本小題共14分)
(1)證明:∵DEBC,DE?面A1DE,BC?面A1DE
∴BC面A1DE…(4分)
(2)證明:在△ABC中,∠C=90°,DEBC,
∴AD⊥DE∴A1D⊥DE.
又A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面BCDE.
由BC?面BCDE,
∴A1D⊥BC.BC⊥CD,A1D∩CD=D,
∴BC⊥面A1DC.…(9分)
(3)設(shè)DC=x則A1D=6-x由(Ⅱ)知,△A1CB,△A1DC均為直角三角形.
A1B=
A1C2+BC2
=
A1D2+DC2+BC2
,即A1B=
x2+32+(6-x)2
=
2x2-12x+45
=
2(x-3)2+27
…(12分)
當(dāng)x=3時,A1B的最小值是3
3

即當(dāng)D為AC中點(diǎn)時,A1B的長度最小,最小值為3
3
.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直三棱柱ADE-BCF中,∠ADE=90°,AD=AE=EF=2,M,N分別是AF,BC的中點(diǎn).
(1)求證:MN平面CDEF;
(2)求多面體A-CDEF的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知a,b為兩條直線,α,β為兩個平面,下列四個命題
①ab,aα⇒bα;②a⊥b,a⊥α⇒bα;
③aα,βα⇒aβ;④a⊥α,β⊥α⇒aβ,
其中不正確的有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在四棱錐P-OABC中,PO⊥底面OABC,∠OCB=60°,∠AOC=∠ABC=90°,且OP=OC=BC=2.
(1)若D是PC的中點(diǎn),求證:BD平面AOP;
(2)求二面角P-AB-O的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分別為AB、PC的中點(diǎn);
(Ⅰ)求證:MN平面PAD;
(Ⅱ)求證:MN⊥CD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA上的動點(diǎn).
(I)求四棱錐P-ABCD的體積;
(Ⅱ)如果E是PA的中點(diǎn),求證:PC平面BDE;
(Ⅲ)探究:不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,BD⊥CE是否都成立?若成立,證明你的結(jié)論;若不成立,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,且∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE平面ABC;
(Ⅱ)求證:B1F⊥平面AEF;
(Ⅲ)求二面角A-EB1-F的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時,平面D1BQ平面PAO?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于( 。
A.直線ACB.直線B1D1C.直線A1D1D.直線A1A

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同步練習(xí)冊答案