Question

20．設數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=Aa_n+$\frac{B}{{a}_{n}}$+C（n∈N^*）
（Ⅰ）若A=2，B=0，C=1，求證：{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}通項公式；
（Ⅱ）若A=1，B=1，C=0
（i）求證：2≤a_n+1²-a_n²≤3
（ii）求證：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過在不等式a_n+1=2a_n+1兩邊同時加上1可構造首項、公比均為2的等比數(shù)列{a_n+1}，進而計算可得結論；
（Ⅱ）通過A=1，B=1，C=0可得a_n≥1．（i）將a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$兩邊同時平方，結合a_n≥1可得結論；（ii）通過分析可知問題即證2n-1≤a_n²≤3n-2，結合（i）結論，利用累加法計算即得結論．

解答 （Ⅰ）解：∵A=2，B=0，C=1，
∴a_n+1=2a_n+1，a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n=-1+2ⁿ；
（Ⅱ）證明：∵A=1，B=1，C=0，
∴a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵a₁=1，
∴a_n≥1．
（i）∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
又∵0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1，
∴2＜2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤3，即2≤a_n+1²-a_n²≤3；
（ii）要證：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$，
即證$\frac{1}{3n-2}$≤$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤$\frac{1}{2n-1}$，
即證2n-1≤a_n²≤3n-2，
又由（i）可知2≤a_n²-a_n-1²≤3，2≤a_n-1²-a_n-2²≤3，…，2≤a₂²-a₁²≤3，
累加得：2（n-1）≤a_n²-a₁²≤3（n-1），
由a₁=1可知2n-1≤a_n²≤3n-2，從而命題得證．

點評 本題是一道關于數(shù)列與不等式的綜合題，考查分析法、累加法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．