Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（-x）并化簡，比較f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出t²-2t與2t²-k的關(guān)系，采用分離參數(shù)法得出k與t的關(guān)系，

解答 解：（1）f（x）的定義域是R，f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}+1}-\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$．
∴f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}+1}{1+{2}^{x}}-1$=0．
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）∵y=2^x在R上是增函數(shù)，∴$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$在R上是減函數(shù)．
∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
∴t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t．
令g（t）=3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，則g（t）的最小值為-$\frac{1}{3}$．
∴k＜-$\frac{1}{3}$．∴k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．