Question

1．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù){a_n}的n項(xiàng)和S_n，滿4S_n=a²_n+1-4n-1，n∈N⁺a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明a₂=$\sqrt{4{a}_{1}+5}$；  
（2）求數(shù){a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1證得答案；
（2）由已知數(shù)列遞推式得到另一遞推式，作差后可得{a_n}是公差d=2的等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=a²₂-5，${{a}_{2}}^{2}=4{a}_{1}+5$，
∵a_n＞0，∴${a}_{2}=\sqrt{4{a}_{1}+5}$；
（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=a²_n-4（n-1）-1，
∴$4{a}_{n}=4{S}_{n}-4{S}_{n-1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}-4$，
${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+2．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是公差d=2的等差數(shù)列．
∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴${{a}_{5}}^{2}={a}_{2}{a}_{14}$，即$（{a}_{2}+8）^{2}={a}_{2}（{a}_{2}+24）$，解得a₂=3，
由（1）可知，$4{a}_{1}={{a}_{2}}^{2}-5=4$，
∴a₁=1．
∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．