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設函數f（x）=
1+4x2x
．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）用定義法證明f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
分析：（1）由偶函數的定義，證明f（-x）=f（x）即可；
（2）由單調性定義，任取定義域內x1＞x2，證明f（x1）-f（x2）＞0即可．
解答：解：（1）∵函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱．
∴f（-x）=
1+4-x
2-x
=
(1+4-x)•4x
2-x•4x
=
1+4x
2x
=f（x），所以f（x）為偶函數．
（2）設x1＞x2＞0，則f（x1）-f（x2）=
1+4x1
2x1
-
1+4x2
2x2
=
(1+4x1)2x2-(1+4x2)2x1
2x1•2x2

=
(2x2-2x1)+(4x1•2x2-4x2•2x1)
2x1•2x2
=
(2x2-2x1)+2x1•2x2(2x1-2x2)
2x1•2x2
=
(2x2-2x1)(1-2x1+x2)
2x1•2x2
，
由于x1＞x2＞0，所以2x2-2x1＜0；1-2x1+x2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的判定，根據定義可以解答題目，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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設函數f（x）=|1-
1x
|（x＞0），證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
1-
1-x
x
(x＜0)
a+x2(x≥0)
，要使f（x）在（-∞，+∞）內連續(xù)，則a=
 

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設函數f（x）=
1             (x≤
3
)
4-x2
(
3
＜x＜2)
0              (x≥2)
，則
∫
2010
-1
f（x）dx的值為
π
3
+
2+
3
2
π
3
+
2+
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
1-|x-1|，x＜2
1
2
f(x-2)，x≥2
，則函數F（x）=xf（x）-1的零點的個數為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，g（x）=x2f（x-1），則函數g（x）的遞減區(qū)間是（　�。�

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