Question

1．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別F₁，F(xiàn)₂，點$P（{-1，\frac{3}{2}}）$是橢圓C的一點，滿足$\overrightarrow{PF{\;}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{9}{4}$．
（I）求橢圓C的方程．
（II）已知O為坐標原點，設(shè)A、B是橢圓E上兩個動點，$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{PO}（{0＜λ＜4，λ≠2}）$．求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{9}{4}$，得么F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），由此利用橢圓定義能求出a²，b²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{PO}$，結(jié)合點差法能證明AB的斜率為定值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則$\overrightarrow{P{F_1}}=（-c+1，-\frac{3}{2}），\overrightarrow{P{F_2}}=（c+1，-\frac{3}{2}）$，（1分）
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1-{c^2}+\frac{9}{4}$，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{9}{4}$，∴$1-{c^2}+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$，解得c=1．（3分）
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴$2a=|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{{{（-1+1）}^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（-1-1）}^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=4$，∴a=2，
∴a²=4，b²=4-1=3．（5分）
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（6分）
證明：（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{PO}$，得$（{x_1}+1，{y_1}-\frac{3}{2}）+（{x_2}+1，{y_2}-\frac{3}{2}）=λ（1，-\frac{3}{2}）$（8分）
∴${x_1}+{x_2}=λ-2≠0，{y_1}+{y_2}=\frac{3}{2}（2-λ）≠0$…①（9分）
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）橢圓E上兩個動點，
∴$3x_1^2+4y_1^2=12，3x_2^2+4y_2^2=12$．
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…②（11分）
以①式代入可得AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{1}{2}$為定值．（13分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、點差法的合理運用．