Question

如圖,矩形是一個觀光區(qū)的平面示意圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使頂點在坐標(biāo)原點分別為軸、軸,(百米),(百米)()觀光區(qū)中間葉形陰影部分是一個人工湖,它的左下方邊緣曲線是函數(shù)的圖象的一段.為了便于游客觀光,擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路(寬度不計),要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切(切點記為),并把該觀光區(qū)分為兩部分,且直線左下部分建設(shè)為花圃.記點到的距離為表示花圃的面積.
（1）求花圃面積的表達式；
（2）求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）為了求花圃的面積，首先判斷直線左下部分花圃的形狀，故先求過點的求切線方程，根據(jù)橫截距和縱截距的取值范圍分為三類：①；②；③，花圃形狀分別為直角三角形、直角梯形、直角梯形，因其面積表達式不同，故分類三類，并以分段函數(shù)的形式給出；（2）分段函數(shù)是一個函數(shù)，故可分段來求最小值，再比較，哪個值最小，哪個即最小值．當(dāng)時，，；利用導(dǎo)數(shù)來求最小值；當(dāng)時，，利用二次函數(shù)的圖象來求最小值．
（1）由題意可設(shè),又因,所以過點的切線方程為
,即,
切線與軸交于點,與軸交于點,

①當(dāng),即時,切線左下方區(qū)域為直角三角形.
所以;

②當(dāng),即時,切線左下方區(qū)域為直角梯形.
所以;

③當(dāng),即時,切線左下方區(qū)域為直角梯形.
所以;
綜上有,                                            7分
（2）①當(dāng)時,,當(dāng)時,;
②當(dāng)時,,
所以在上遞減,所以,
下面比較與的大小,由于,
所以可知即求.                                                13分