Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行
四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE與平面ABC所成的角為θ，
且tanθ=

3

2

．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達式；
（3）當V（x）取得最大值時，求二面角D-AB-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）欲證平面ACD⊥平面ADE，根據面面垂直的判定定理可知在平面ADE內一直線與平面ACD垂直，DE⊥平面ADC，DE?平面ADE，滿足定理所需條件；
（2）根據線面所成角的定義可知∠EAB為AE與平面ABC所成的角，在Rt△ABE中，求出BE，在Rt△ABC中求出AC，最后根據三棱錐的體積公式求出體積即可；
（3）利用基本不等式可知當V（x）取得最大值時AC=

2

，這時△ACB為等腰直角三角形，連接CO，DO，根據二面角的平面角的定義可知∠DOC為二面角D-AB-C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE，BC∥DE（1分）
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．（2分）
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC（3分）
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE（4分）
（2）∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC
∴∠EAB為AE與平面ABC所成的角，即∠EAB=θ（5分）
在Rt△ABE中，由tanθ=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

（6分）
在Rt△ABC中∵BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

（7分）
∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）（8分）
（3）由（2）知0＜x＜2
要V（x）取得最大值，當且僅當x

4-x2

=

x2(4-x2)

取得最大值，
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4（9分）
當且僅當x²=4-x²，即x=

2

時，“=”成立，
∴當V（x）取得最大值時AC=

2

，這時△ACB為等腰直角三角形（10分）
連接CO，DO
∵AC=BC，DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB
又∵O為AB的中點∴CO⊥AB，DO⊥AB
∴∠DOC為二面角D-AB-C的平面角（12分）
在Rt△DCO中∵CO=

1

2

AB=1，DC=BE=

3

∴tan∠DOC=

DC

CO

=

3

，∴∠DOC=60°
即當V（x）取得最大值時，二面角D-AB-C為60°．（14分）

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及體積和二面角的定理等有關知識，求二面角，關鍵是構造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉化為二面角的平面角．