Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)滿足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，則BE與DF所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{17}$
• C． $\frac{12}{17}$
• D． $\frac{15}{17}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BE與DF所成角的正弦值．

解答 解：如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為4，
∵點E，F(xiàn)滿足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，
∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F(xiàn)（0，1，4），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，4），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，4），
設異面直線BE與DF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$=$\frac{15}{\sqrt{17}•\sqrt{17}}$=$\frac{15}{17}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{15}{17}）^{2}}$=$\frac{8}{17}$，
∴BE與DF所成角的正弦值為$\frac{8}{17}$．
故選：A．

點評 本題考查異面直線所成角的正弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．