Question

若在拋物線y=x²上存在兩點關于直線y=kx+1對稱，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設出兩點B、C兩點坐標，得到直線BC方程x=-ky+m，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達定理求出BC中點，應用中點在對稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．
解答：解：設兩點B、C關于直線y=kx+1對稱，故可設直線BC方程為y=-x+m，代入y=x²，得 x²+x-m=0．
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則 BC中點M（x，y），則x==-，y=+m．
∵點M（x，y）在直線y=kx+1上，
∴+m=k（-）+1，
∴m=-．
又∵BC與拋物線交于不同兩點，∴△=+4m＞0．
把m代入得+4（-）＞0化簡得 ＜2，解得k＜-或k＞．
點評：本題考查點關于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質，中點公式的應用，屬于中檔題．