Question

若在拋物線y=x²上存在兩點關(guān)于直線y=kx+1對稱，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)出兩點B、C兩點坐標(biāo)，得到直線BC方程x=-ky+m，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點，應(yīng)用中點在對稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．

解答：解：設(shè)兩點B、C關(guān)于直線y=kx+1對稱，故可設(shè)直線BC方程為y=-

1

k

x+m，代入y=x²，得 x²+

1

k

x-m=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則 BC中點M（x₀，y₀），則x₀=

x1+x2

2

=-

1

2k

，y₀=

1

2k2

+m．
∵點M（x₀，y₀）在直線y=kx+1上，
∴

1

2k2

+m=k（-

1

2k

）+1，
∴m=

1

2

-

1

2k2

．
又∵BC與拋物線交于不同兩點，∴△=

1

k2

+4m＞0．
把m代入得

1

k2

+4（

1

2

-

1

2k2

）＞0化簡得

1

k2

＜2，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．

點評：本題考查點關(guān)于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點公式的應(yīng)用，屬于中檔題．