Question

若在拋物線(xiàn)y=x²上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=kx+1對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)出兩點(diǎn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線(xiàn)BC方程x=-ky+m，把直線(xiàn)BC方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點(diǎn)，應(yīng)用中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．

解答：解：設(shè)兩點(diǎn)B、C關(guān)于直線(xiàn)y=kx+1對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)直線(xiàn)BC方程為y=-

1

k

x+m，代入y=x²，得 x²+

1

k

x-m=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），則 BC中點(diǎn)M（x₀，y₀），則x₀=

x1+x2

2

=-

1

2k

，y₀=

1

2k2

+m．
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線(xiàn)y=kx+1上，
∴

1

2k2

+m=k（-

1

2k

）+1，
∴m=

1

2

-

1

2k2

．
又∵BC與拋物線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，∴△=

1

k2

+4m＞0．
把m代入得

1

k2

+4（

1

2

-

1

2k2

）＞0化簡(jiǎn)得

1

k2

＜2，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，兩條直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．