Question

14．編輯如下運(yùn)算程序：1@1=2，m@n=q，m@（n+1）=q+2．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)滿足a_n=1@n，求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義可求出a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想出a_n=2n，
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵a₁=1@1=2，令m=1，n=1，則q=2；由m@n=q，m@（n+1）=q+2，得a₂=1@2=2+2=4
再令m=1，n=2，則q=4，得a₃=1@3=4+2=6
再令m=1，n=3，則q=6，得a₄=1@4=6+2=8，
∴a₂=4，a₃=6，a₄=8，
（2）由（1）猜想：${a_n}=2n，（n∈{N^*}）$，
（3）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1@1=2，另一方面，a₁=2×1=2，所以當(dāng)n=1時(shí)等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=1@k=2k，此時(shí)q=2k，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)a_k+1=1@（k+1）=2k+2=2（k+1）
所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
由①②知，等式對n∈N^*都成立，猜想正確，即${a_n}=2n，（n∈{N^*}）$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，猜得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n是關(guān)鍵，考查推理分析與運(yùn)算、證明能力，屬于中檔題．