Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此時(shí)f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．（5分）
（2）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴f(x)=

x3+3ax-3a  (0≤x＜1)&  x3-3ax+3a  (x≥1)&

，（7分）
（i）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-

a

)(x+

a

)，
令f'（x）=0，可得兩極值點(diǎn)x=-

a

或x=

a

，
①若0＜a≤1，則

a

≤1，可得f（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
結(jié)合（i）、（ii）可得此時(shí)[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，則

a

＞1，可得f（x）在[1，

a

)內(nèi)單調(diào)遞減，(

a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）內(nèi)有極小值f(

a

)=(

a

)3-3a

a

+3a=-2a

a

+3a，
此時(shí)[f(x)]min=min{f(0)，f(

a

)}
而f(

a

)-f(0)=-2a

a

+3a-(-3a)=-2a

a

+6a=-2a(

a

-3)
可得1＜a≤9時(shí)，f(

a

)≥f(0)，a＞9時(shí)，f(

a

)＜f(0)（14分）
∴綜合①②可得，當(dāng)0＜a≤9時(shí)，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
當(dāng)a＞9時(shí)，[f(x)]min=f(

a

)=-2a

a

+3a（15分）