Question

給出下列命題：
①y=1是冪函數
②函數f（x）=2^x-log₂x的零點有1個
③

x-1

(x-2)≥0的解集為[2，+∞）
④“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件
⑤函數y=x³在點O（0，0）處切線是x軸
其中真命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：①根據冪函數的定義知，y=1是常數函數，不是冪函數；②函數f（x）=2^x-log₂x的零點個數即為函數y=2^x與y=log₂x的圖象的交點個數，在同一坐標系中畫出它們的圖象即可；③解不等式即可求得結論；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件；⑤利用導數求出函數y=x³在點O（0，0）處切線的方程．

解答：解；①y=1是常數函數，不是冪函數．故錯；
②由函數圖象知：函數f（x）=2^x-log₂x沒有零點，故錯；
③

x-1

(x-2)≥0?

x-1＞0 x-2≥0

或x=0，解得x≥2或x=1，故

x-1

(x-2)≥0的解集為[2，+∞）∪{0}，錯；
④“x＜1”?“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件，正確；
⑤y′|_x=0=3x²|_x=0=0，∴函數y=x³在點O（0，0）處切線方程為y=0，即x軸，故正確．
故答案為④⑤．

點評：此題是個基礎題．考查利用導數求函數圖象在某點的切線方程，不等式的解法，函數零點問題等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．