Question

某市為了解決交通擁堵問(wèn)題，一方面改建道路、加強(qiáng)管理，一方面控制汽車總量增長(zhǎng)．交管部門擬從2012年1月起，在一段時(shí)間內(nèi)，對(duì)新車上牌采用搖號(hào)（類似于抽簽）的方法進(jìn)行控制，制定如下方案：①每月進(jìn)行一次搖號(hào)，從當(dāng)月所有申請(qǐng)用戶以及以前沒(méi)有搖到號(hào)的申請(qǐng)用戶中，搖出當(dāng)月上牌的用戶，搖到叼的用戶不再參加以后的搖號(hào)；②當(dāng)月沒(méi)有搖到號(hào)的申請(qǐng)者自動(dòng)加入下一個(gè)月的搖號(hào)，不必也不能重復(fù)申請(qǐng)．預(yù)計(jì)2012年1月申請(qǐng)車牌的用戶有10a個(gè)，以后每個(gè)月又有a個(gè)新用戶申請(qǐng)車牌；計(jì)劃2012年1月車牌a個(gè)，以后每月發(fā)放車牌數(shù)比上月增加5%，以2012年1月為第一個(gè)月，設(shè)前n（n∈N^*）個(gè)月申請(qǐng)車牌用戶的總數(shù)為a_n，前n個(gè)月發(fā)放車牌的總數(shù)為b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整數(shù)為n₀．（參考數(shù)據(jù)：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n關(guān)于n的表達(dá)式，直接寫出n₀的值，說(shuō)明n₀的實(shí)際意義；
（2）當(dāng)n≤n₀，n∈N^*時(shí)，設(shè)第n個(gè)月中簽率為y_n，求證：中簽率y_n隨著n的增加而增大．（第n個(gè)月中簽率=

第n個(gè)月發(fā)放車牌數(shù)

第n個(gè)月參加搖號(hào)的用戶數(shù)

）

Answer 1

分析：（1）前n個(gè)月申請(qǐng)車牌用戶的總數(shù)a_n是等差數(shù)列，前n個(gè)月發(fā)放車牌的總數(shù)為b_n是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)；由a_n＞b_n求得n₀的值即可；
（2）由題意，n=1時(shí)，y₁=

b1

a1

，1＜n≤17時(shí)，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

，則計(jì)算

1

yn

-

1

yn-1

＜0，得

1

yn

＜

1

yn-1

，從而得n≤17時(shí)，a_n＜b_n，即a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，得0＜y_n＜1，由y_n＞y_n-1≥y₁，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）前n個(gè)月申請(qǐng)車牌用戶的總數(shù)為a_n=10a+（n-1）a=（n+9）a，
前n個(gè)月發(fā)放車牌的總數(shù)為b_n=

a(1-1.05n)

1-1.05

=20（1.05ⁿ-1）a；
由a_n＞b_n得，n₀=17；這說(shuō)明第17個(gè)月以后，該項(xiàng)政策可以取消，不需要搖號(hào)就可以直接上牌．
（2）由題意，當(dāng)n=1時(shí)，y₁=

1

10

；
當(dāng)1＜n≤17時(shí)，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

，∴y_n=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

（n∈N^*，n≤17）；
當(dāng)2≤n≤17時(shí)，

1

yn

-

1

yn-1

=

n+29

1.05n-1

-

(n-1)+29

1.05n-2

=

n+29-1.05(n+28)

1.05n-1

=

-0.05n-0.40

1.05n-1

＜0，∴

1

yn

＜

1

yn-1

，∵n∈N^*，且n≤17時(shí)，a_n＜b_n，∴a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，∴0＜y_n＜1，∴y_n＞y_n-1；
所以y₁＜y₂＜…＜y₁₇，即y_n隨著n的增加而增大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，也考查了數(shù)列與函數(shù)、不等式的應(yīng)用；解題時(shí)細(xì)心作答，以免出錯(cuò)．