Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，

2

)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數(shù)的形式設(shè)出其方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出解析式．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．關(guān)鍵是將函數(shù)值的差變形．

解答：解：（1）依題意設(shè)y=x^α，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，

2

)，
∴

2

=2α，∴α=

1

2

，∴f(x)=x

1

2

，
由f(x)=x

1

2

=

x

可知：f（x）的定義域為[0，+∞）
（2）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
證明：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

( x1 - x2 )( x1 + x2)

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f(x)=

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查利用待定系數(shù)法求模型已知的函數(shù)的解析式；利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．